Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 28

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{{64}}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{{64}};\;\dfrac{1}{{32}}} \right] \cup \left\{ {\dfrac{1}{8}} \right\} \cup \left[ {\dfrac{1}{2};\;1} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\)

\(\dfrac{{45}}{{{{\left( {\log _2^2x + 6{{\log }_2}x} \right)}^2}}} + \dfrac{{14}}{{\log _2^2x + 6{{\log }_2}x}} + 1 \ge 0.\)

Запишем ограничение на подлогарифмическое выражение:  \(x > 0.\)

Пусть  \(\log _2^2x + 6{\log _2}x = t.\)  Тогда неравенство примет вид:

\(\dfrac{{45}}{{{t^2}}} + \dfrac{{14}}{t} + 1 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2} + 14t + 45}}{{{t^2}}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:

\({t^2} + 14t + 45 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -9,}\\{{t} = -5.}\end{array}} \right.\)

Найдём нули знаменателя:  \({t^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = 0.\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -9,\;\;}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge -5,}\\{t \ne 0\;\,\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log _2^2x + 6{{\log }_2}x \le -9,\;\,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log _2^2x + 6{{\log }_2}x \ge -5,}\\{\log _2^2x + 6{{\log }_2}x \ne 0.\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим неравенство:

\(\log _2^2x + 6{\log _2}x \le -9\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{{\log }_2}x + 3} \right)^2} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,{\log _2}x + 3 = 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{1}{8}.\)

Рассмотрим неравенство:  \({\log _2}x + 6{\log _2}x \ge -5.\)

Пусть  \({\log _2}x = y.\)  Тогда неравенство примет вид:

\({y^2} + 6y + 5 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {y + 1} \right)\left( {y + 5} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \le -5,}\\{y \ge -1.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к переменной  \(x\):

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \le -5,}\\{{{\log }_2}x \ge -1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \le {{\log }_2}\frac{1}{{32}},}\\{{{\log }_2}x \ge {{\log }_2}\frac{1}{2}\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le \,\dfrac{1}{{32}},}\\{x \ge \dfrac{1}{2}.\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\dfrac{1}{{32}}} \right] \cup \left[ {\dfrac{1}{2};\infty } \right).\)

Рассмотрим условие:

\(\log _2^2x + 6{\log _2}x \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\,{\log _2}x\left( {{{\log }_2}x + 6} \right) \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \ne 0,\;}\\{{{\log }_2}x \ne -6}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\;\;\;}\\{x \ne \dfrac{1}{{64}}.}\end{array}} \right.\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log _2^2x + 6{{\log }_2}x \le -9,\;\,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log _2^2x + 6{{\log }_2}x \ge -5,}\\{\log _2^2x + 6{{\log }_2}x \ne 0\;\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{8},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {0;\dfrac{1}{{32}}} \right] \cup \left[ {\dfrac{1}{2};\infty } \right),}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{x \ne \dfrac{1}{{64}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\;\dfrac{1}{{64}}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{{64}};\;\dfrac{1}{{32}}} \right] \cup \left\{ {\dfrac{1}{8}} \right\} \cup \left[ {\dfrac{1}{2};\;1} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {0;\;\dfrac{1}{{64}}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{{64}};\;\dfrac{1}{{32}}} \right] \cup \left\{ {\dfrac{1}{8}} \right\} \cup \left[ {\dfrac{1}{2};\;1} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\)