Задача 30. Решите неравенство \(\dfrac{{4{{\log }_5}\left( {x — 2} \right) + 1}}{{\log _5^2\left( {x — 2} \right) + {{\log }_5}\left( {x — 2} \right)}} \geqslant 1 + {\log _{x — 2}}5\)
ОТВЕТ: \(\left( {2,2;\;3} \right) \cup \left( {3;\;27} \right].\)
\(\dfrac{{4{{\log }_5}\left( {x-2} \right) + 1}}{{\log _5^2\left( {x-2} \right) + {{\log }_5}\left( {x-2} \right)}} \ge 1 + {\log _{x-2}}5.\) Найдём ограничения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2 > 0,}\\{x-2 \ne 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,}\\{x \ne 3\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {2;3} \right) \cup \left( {3;\infty } \right).} \right.\) \(\dfrac{{4{{\log }_5}\left( {x-2} \right) + 1}}{{\log _5^2\left( {x-2} \right) + {{\log }_5}\left( {x-2} \right)}} \ge 1 + {\log _{x-2}}5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4{{\log }_5}\left( {x-2} \right) + 1}}{{\log _5^2\left( {x-2} \right) + {{\log }_5}\left( {x-2} \right)}} \ge 1 + \dfrac{1}{{{{\log }_5}\left( {x-2} \right)}}.\) Пусть \({\log _5}\left( {x-2} \right) = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\dfrac{{4t + 1}}{{{t^2} + t}} \ge 1 + \dfrac{1}{t}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4t + 1}}{{t\left( {t + 1} \right)}}-1-\dfrac{1}{t} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4t + 1-{t^2}-t-t-1}}{{t\left( {t + 1} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2}-2t}}{{t\left( {t + 1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t\left( {t-2} \right)}}{{t\left( {t + 1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{t-2}}{{t + 1}} \le 0,}\\{t \ne 0.\;\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 < t \le 2,}\\{t \ne 0\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 < {{\log }_5}\left( {x-2} \right) \le 2,}\\{{{\log }_5}\left( {x-2} \right) \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_5}0,2 < {{\log }_5}\left( {x-2} \right) \le {{\log }_5}25,}\\{{{\log }_5}\left( {x-2} \right) \ne {{\log }_5}1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,2 < x-2 \le 25,}\\{x-2 \ne 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2,2 < x \le 27,}\\{x \ne 3\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {2,2;3} \right) \cup \left( {3;27} \right].\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {2,2;\;3} \right) \cup \left( {3;\;27} \right].\) Ответ: \(\left( {2,2;\;3} \right) \cup \left( {3;\;27} \right].\) 