\(\dfrac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \dfrac{2}{{{{\log }_2}\left( {2x} \right)}}\left( {\dfrac{3}{{4 + {{\log }_2}x}}-1} \right) \le 0.\)
Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\,}\\{2x > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)
\(\dfrac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \dfrac{2}{{{{\log }_2}\left( {2x} \right)}}\left( {\dfrac{3}{{4 + {{\log }_2}x}}-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \dfrac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} \cdot \left( {\dfrac{{3-4-{{\log }_2}x}}{{4 + {{\log }_2}x}}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{4 + {{\log }_2}x}}-\dfrac{{2\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)}}{{\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)\left( {4 + {{\log }_2}x} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{{4 + {{\log }_2}x}}-\dfrac{2}{{4 + {{\log }_2}x}} \le 0,}\\{1 + {{\log }_2}x \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\,\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\dfrac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} \le 0,}\\{{{\log }_2}x \ne -1\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 + {{\log }_2}x > 0,}\\{{{\log }_2}x \ne -1\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x > {{\log }_2}\dfrac{1}{{16}},}\\{{{\log }_2}x \ne {{\log }_2}\dfrac{1}{2}\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \dfrac{1}{{16}},}\\{x \ne \dfrac{1}{2}\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\dfrac{1}{{16}};\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};\infty } \right).\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\dfrac{1}{{16}};\;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {\dfrac{1}{{16}};\;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};\;\infty } \right).\)