\(\dfrac{3}{{5 + {{\log }_2}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_2}\left( {4x} \right)}}\left( {\dfrac{3}{{5 + {{\log }_2}x}}-1} \right) \ge 0.\)
Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\,}\\{4x > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)
\(\dfrac{3}{{5 + {{\log }_2}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_2}\left( {4x} \right)}}\left( {\dfrac{3}{{5 + {{\log }_2}x}}-1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{3}{{5 + {{\log }_2}x}} + \dfrac{1}{{2 + {{\log }_2}x}} \cdot \left( {\dfrac{{3-5-{{\log }_2}x}}{{5 + {{\log }_2}x}}} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{3}{{5 + {{\log }_2}x}}-\dfrac{{2 + {{\log }_2}x}}{{\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)\left( {5 + {{\log }_2}x} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{3}{{5 + {{\log }_2}x}}-\dfrac{1}{{5 + {{\log }_2}x}} \ge 0,}\\{2 + {{\log }_2}x \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\,\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{2}{{5 + {{\log }_2}x}} \ge 0,}\\{{{\log }_2}x \ne -2\;\;\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 + {{\log }_2}x > 0,}\\{{{\log }_2}x \ne -2\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x > {{\log }_2}\dfrac{1}{{32}},}\\{{{\log }_2}x \ne {{\log }_2}\dfrac{1}{4}\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \dfrac{1}{{32}},}\\{x \ne \dfrac{1}{4}\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\dfrac{1}{{32}};\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{4};\infty } \right).\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\dfrac{1}{{32}};\;\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{4};\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {\dfrac{1}{{32}};\;\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{4};\;\infty } \right).\)