\(\dfrac{{{{\lg }^2}x + \lg x-1}}{{\lg x}} + \dfrac{{7{{\lg }^2}x-7\lg x + 2}}{{\lg \left( {0,1x} \right)}} \le 8\lg x + 1.\)
Запишем ограничения на подлогарифмические выражения:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\,\;\,}\\{0,1x > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)
\(\dfrac{{{{\lg }^2}x + \lg x-1}}{{\lg x}} + \dfrac{{7{{\lg }^2}x-7\lg x + 2}}{{\lg \left( {0,1x} \right)}} \le 8\lg x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\lg }^2}x + \lg x-1}}{{\lg x}} + \dfrac{{7{{\lg }^2}x-7\lg x + 2}}{{\lg x-1}} \le 8\lg x + 1.\)
Пусть \(\lg x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\dfrac{{{t^2} + t-1}}{t} + \dfrac{{7{t^2}-7t + 2}}{{t-1}} \le 8t + 1.\)
Выделим целую часть дроби \(\dfrac{{7{t^2}-7t + 2}}{{t-1}}\) с помощью деления уголком:
\(\dfrac{{{t^2} + t-1}}{t} + \dfrac{{7{t^2}-7t + 2}}{{t-1}} \le 8t + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t + 1 + \dfrac{{-1}}{t} + 7t + \dfrac{2}{{t-1}} \le 8t + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{2}{{t-1}}-\dfrac{1}{t} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2t-t + 1}}{{t\left( {t-1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t + 1}}{{t\left( {t-1} \right)}} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -1,\,\;\,}\\{0 < t < 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \le -1,\,\;\,}\\{0 < \lg x < 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \le \lg \dfrac{1}{{10}},\;\;\;\;\,\;\,}\\{\lg 1 < \lg x < \lg 10}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le \dfrac{1}{{10}},}\\{1 < x < 10\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\;0,1} \right] \cup \left( {1;\;10} \right).\)
Ответ: \(\left( {0;\;0,1} \right] \cup \left( {1;\;10} \right).\)