\(\dfrac{{{{\lg }^2}x + \lg x-4}}{{\lg \left( {0,1x} \right)}} + \dfrac{{6{{\lg }^2}x-24\lg x + 5}}{{\lg x-4}} \le 7\lg x + 2.\)
Запишем ограничения на подлогарифмические выражения:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\,\;\,}\\{0,1x > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)
\(\dfrac{{{{\lg }^2}x + \lg x-4}}{{\lg \left( {0,1x} \right)}} + \dfrac{{6{{\lg }^2}x-24\lg x + 5}}{{\lg x-4}} \le 7\lg x + 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\lg }^2}x + \lg x-4}}{{\lg x-1}} + \dfrac{{6{{\lg }^2}x-24\lg x + 5}}{{\lg x-4}} \le 7\lg x + 2.\)
Пусть \(\lg x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\dfrac{{{t^2} + t-4}}{{t-1}} + \dfrac{{6{t^2}-24t + 5}}{{t-4}} \le 7t + 2.\)
Выделим целые части дробей \(\dfrac{{{t^2} + t-4}}{{t-1}}\)и \(\dfrac{{6{t^2}-24t + 5}}{{t-4}}\) с помощью деления уголком:
\(\dfrac{{{t^2} + t-4}}{{t-1}} + \dfrac{{6{t^2}-24t + 5}}{{t-4}} \le 7t + 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t + 2 + \dfrac{{-2}}{{t-1}} + 6t + \dfrac{5}{{t-4}} \le 7t + 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{5}{{t-4}}-\dfrac{2}{{t-1}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{5t-5-2t + 8}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t-1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3t + 3}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t-1} \right)}} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -1,\,\;\,}\\{1 < t < 4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \le -1,\,\;\,}\\{1 < \lg x < 4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \le \lg \dfrac{1}{{10}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\,}\\{\lg 10 < \lg x < \lg 10000}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le \dfrac{1}{{10}},\;\;\;\;\;\,}\\{10 < x < 10000}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\;0,1} \right] \cup \left( {10;\;10000} \right).\)
Ответ: \(\left( {0;\;0,1} \right] \cup \left( {10;\;10000} \right).\)