Задача 36. Решите неравенство \(\log _{0,5}^{\;2}\left( { — {{\log }_3}x} \right) — {\log _{0,5}}\log _3^2x \leqslant 3\)
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{1}{9};\;\dfrac{1}{{\sqrt[8]{3}}}} \right].\)
\(\log _{0,5}^{\;2}\left( {-{{\log }_3}x} \right)-{\log _{0,5}}\log _3^2x \le 3.\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-{{\log }_3}x > 0,}\\{x > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x < 0,}\\{x > 0\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x < {{\log }_3}1,}\\{x > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,}\\{x > 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 < x < 1.\) \(\log _{0,5}^{\;2}\left( {-{{\log }_3}x} \right)-{\log _{0,5}}\log _3^2x \le 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _{0,5}^{\;2}\left( {-{{\log }_3}x} \right)-2{\log _{0,5}}\left| {{{\log }_3}x} \right|-3 \le 0.\) Так как \({\log _3}x < 0,\) то \(\left| {{{\log }_3}x} \right| = -{\log _3}x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\log _{0,5}^2\left( {-{{\log }_3}x} \right)-2{\log _{0,5}}\left( {-{{\log }_3}x} \right)-3 \le 0.\) Пусть \({\log _{0,5}}\left( {-{{\log }_3}x} \right) = t.\) Последнее неравенство примет вид: \({t^2}-2t-3 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-3} \right)\left( {t + 1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1 \le t \le 3.\) Вернёмся к прежней переменной: \(-1 \le {\log _{0,5}}\left( {-{{\log }_3}x} \right) \le 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,5}}2 \le {\log _{0,5}}\left( {-{{\log }_3}x} \right) \le {\log _{0,5}}0,125\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \ge -{\log _3}x \ge \dfrac{1}{8}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 \le {\log _3}x \le -\dfrac{1}{8}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\dfrac{1}{9} \le {\log _3}x \le {\log _3}{3^{-\frac{1}{8}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{9} \le x \le \dfrac{1}{{\sqrt[8]{3}}}.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {\dfrac{1}{9};\;\dfrac{1}{{\sqrt[8]{3}}}} \right].\) Ответ: \(\left[ {\dfrac{1}{9};\;\dfrac{1}{{\sqrt[8]{3}}}} \right].\)