Задача 37. Решите неравенство \(\dfrac{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}}{{{{\log }_4}x — 3}} + \dfrac{{{{\log }_4}x — 3}}{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}} \geqslant \dfrac{{{{\log }_4}{x^4} + 16}}{{\log _4^2x — 9}}\)
ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{{64}}} \right) \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left( {64;\;\infty } \right).\)
\(\dfrac{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}}{{{{\log }_4}x-3}} + \dfrac{{{{\log }_4}x-3}}{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}} \ge \dfrac{{{{\log }_4}{x^4} + 16}}{{\log _4^2x-9}}.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{64x > 0,}\\{x > 0,\;\;\;\,}\\{{x^4} > 0\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \(\dfrac{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}}{{{{\log }_4}x-3}} + \dfrac{{{{\log }_4}x-3}}{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}} \ge \dfrac{{{{\log }_4}{x^4} + 16}}{{\log _4^2x-9}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\log }_4}x + 3}}{{{{\log }_4}x-3}} + \dfrac{{{{\log }_4}x-3}}{{{{\log }_4}x + 3}} \ge \dfrac{{4{{\log }_4}\left| x \right| + 16}}{{\log _4^2x-9}}.\) Так как \(x > 0,\) то \({\log _4}\left| x \right| = {\log _4}x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\dfrac{{{{\log }_4}x + 3}}{{{{\log }_4}x-3}} + \dfrac{{{{\log }_4}x-3}}{{{{\log }_4}x + 3}} \ge \dfrac{{4{{\log }_4}x + 16}}{{\log _4^2x-9}}.\) Пусть \({\log _4}x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\dfrac{{t + 3}}{{t-3}} + \dfrac{{t-3}}{{t + 3}} \ge \dfrac{{4t + 16}}{{{t^2}-9}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2} + 6t + 9 + {t^2}-6t + 9-4t-16}}{{\left( {t-3} \right)\left( {t + 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{t^2}-4t + 2}}{{\left( {t-3} \right)\left( {t + 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{{\left( {t-1} \right)}^2}}}{{\left( {t-3} \right)\left( {t + 3} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < -3,}\\{t = 1,\;\;\,}\\{t > 3\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_4}x < -3,}\\{{{\log }_4}x = 1,\;\;\,}\\{{{\log }_4}x > 3\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_4}x < {{\log }_4}\dfrac{1}{{64}},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_4}x = {{\log }_4}4,\;\,\,\,}\\{{{\log }_4}x > {{\log }_4}64\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < \dfrac{1}{{64}},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{x > 64.\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x \in \left( {0;\;\dfrac{1}{{64}}} \right) \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left( {64;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{{64}}} \right) \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left( {64;\;\infty } \right).\) 