Задача 38. Решите неравенство \(1 + \dfrac{{10}}{{{{\log }_2}x — 5}} + \dfrac{{16}}{{\log _2^2x — {{\log }_2}\left( {32{x^{10}}} \right) + 30}} \geqslant 0\)
ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{8}} \right] \cup \left[ {8;\;32} \right) \cup \left( {32;\;\infty } \right).\)
\(1 + \dfrac{{10}}{{{{\log }_2}x-5}} + \dfrac{{16}}{{\log _2^2x-{{\log }_2}\left( {32{x^{10}}} \right) + 30}} \ge 0.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\,}\\{32{x^{10}} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \(1 + \dfrac{{10}}{{{{\log }_2}x-5}} + \dfrac{{16}}{{\log _2^2x-{{\log }_2}\left( {32{x^{10}}} \right) + 30}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 + \dfrac{{10}}{{{{\log }_2}x-5}} + \dfrac{{16}}{{\log _2^2x-5-{{\log }_2}{x^{10}} + 30}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;1 + \dfrac{{10}}{{{{\log }_2}x-5}} + \dfrac{{16}}{{\log _2^2x-10{{\log }_2}\left| x \right| + 25}} \ge 0.\) Так как \(x > 0,\) то \({\log _2}\left| x \right| = {\log _2}x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(1 + \dfrac{{10}}{{{{\log }_2}x-5}} + \dfrac{{16}}{{\log _2^2x-10{{\log }_2}x + 25}} \ge 0.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(1 + \dfrac{{10}}{{t-5}} + \dfrac{{16}}{{{t^2}-10t + 25}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 + \dfrac{{10}}{{t-5}} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {t-5} \right)}^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {t-5} \right)}^2} + 10\left( {t-5} \right) + 16}}{{{{\left( {t-5} \right)}^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2}-10t + 25 + 10t-50 + 16}}{{{{\left( {t-5} \right)}^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2}-9}}{{{{\left( {t-5} \right)}^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {t-3} \right)\left( {t + 3} \right)}}{{{{\left( {t-5} \right)}^2}}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -3,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge 3,}\\{t \ne 5}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \le -3,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \ge 3,}\\{{{\log }_2}x \ne 5}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \le {{\log }_2}\dfrac{1}{8},}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \ge {{\log }_2}8,}\\{{{\log }_2}x \ne {{\log }_2}32}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le \dfrac{1}{8},}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 8,}\\{x \ne 32.}\end{array}} \right.\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x \in \left( {0;\;\dfrac{1}{8}} \right] \cup \left[ {8;\;32} \right) \cup \left( {32;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{8}} \right] \cup \left[ {8;\;32} \right) \cup \left( {32;\;\infty } \right).\) 