Задача 39. Решите неравенство \(\dfrac{{{{\log }_4}\left( {16{x^4}} \right) + 11}}{{\log _4^2x — 9}} \geqslant — 1\)
ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{{64}}} \right) \cup \left\{ {\dfrac{1}{{16}}} \right\} \cup \left( {64;\;\infty } \right).\)
\(\dfrac{{{{\log }_4}\left( {16{x^4}} \right) + 11}}{{\log _4^2x-9}} \ge -1.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\,}\\{16{x^4} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \(\dfrac{{{{\log }_4}\left( {16{x^4}} \right) + 11}}{{\log _4^2x-9}} \ge -1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2 + 4{{\log }_4}\left| x \right| + 11}}{{\log _4^2x-9}} + 1 \ge 0.\) Так как \(x > 0,\) то \({\log _4}\left| x \right| = {\log _4}x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\dfrac{{2 + 4{{\log }_4}x + 11}}{{\log _4^2x-9}} + 1 \ge 0.\) Пусть \({\log _4}x = t.\) Тогда неравенство будет иметь вид: \(\dfrac{{4t + 13}}{{{t^2}-9}} + 1 \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\dfrac{{{t^2} + 4t + 4}}{{{t^2}-9}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}{{\left( {t-3} \right)\left( {t + 3} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < -3,}\\{t = -2,}\\{t > 3\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_4}x < -3,}\\{{{\log }_4}x = -2,}\\{{{\log }_4}x > 3\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_4}x < {{\log }_4}\dfrac{1}{{64}},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_4}x = {{\log }_4}\dfrac{1}{{16}},}\\{{{\log }_4}x > {{\log }_4}64\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < \dfrac{1}{{64}},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{{16}},\;\;\;\;\;\,}\\{x > 64\,\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x \in \left( {0;\;\dfrac{1}{{64}}} \right) \cup \left\{ {\dfrac{1}{{16}}} \right\} \cup \left( {64;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{{64}}} \right) \cup \left\{ {\dfrac{1}{{16}}} \right\} \cup \left( {64;\;\infty } \right).\) 