Задача 40. Решите неравенство \(\dfrac{{{{\log }_7}\left( {49{x^2}} \right) — 7}}{{\log _7^2x — 4}} \leqslant 1\)
ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{{49}}} \right) \cup \left\{ 7 \right\} \cup \left( {49;\;\infty } \right).\)
\(\dfrac{{{{\log }_7}\left( {49{x^2}} \right)-7}}{{\log _7^2x-4}} \le 1.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\,}\\{49{x^2} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \(\dfrac{{{{\log }_7}\left( {49{x^2}} \right)-7}}{{\log _7^2x-4}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2 + 2{{\log }_7}\left| x \right|-7}}{{\log _7^2x-4}}-1 \le 0.\) Так как \(x > 0,\) то \({\log _7}\left| x \right| = {\log _7}x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\dfrac{{2 + 2{{\log }_7}x-7}}{{\log _7^2x-4}}-1 \le 0.\) Пусть \({\log _7}x = t.\) Тогда неравенство будет иметь вид: \(\dfrac{{2t-5}}{{{t^2}-4}}-1 \le 0\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\dfrac{{{t^2}-2t + 1}}{{{t^2}-4}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {t-1} \right)}^2}}}{{\left( {t-2} \right)\left( {t + 2} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < -2,}\\{t = 1,\,\;\;}\\{t > 2\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_7}x < -2,}\\{{{\log }_7}x = 1,\;\;\,}\\{{{\log }_7}x > 2\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_7}x < {{\log }_7}\dfrac{1}{{49}},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_7}x = {{\log }_7}7,\;\;\,}\\{{{\log }_7}x > {{\log }_7}49\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < \dfrac{1}{{49}},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7,\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{x > 49.\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x \in \left( {0;\;\dfrac{1}{{49}}} \right) \cup \left\{ 7 \right\} \cup \left( {49;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{{49}}} \right) \cup \left\{ 7 \right\} \cup \left( {49;\;\infty } \right).\) 