Задача 41. Решите неравенство \({\lg ^4}x — 4{\lg ^3}x + 5{\lg ^2}x — 2\lg x \geqslant 0\)
ОТВЕТ: \(\left( {0;\;1} \right] \cup \left\{ {10} \right\} \cup \left[ {100;\;\infty } \right).\)
\({\lg ^4}x-4{\lg ^3}x + 5{\lg ^2}x-2\lg x \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) Пусть \(\lg x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^4}-4{t^3} + 5{t^2}-2t \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \({t^4}-4{t^3} + 5{t^2}-2t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^3}-4{t^2} + 5t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{{t^3}-4{t^2} + 5t-2 = 0.}\end{array}} \right.\) Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения \({t^3}-4{t^2} + 5t-2 = 0\) являются делители свободного члена, равного \(-2,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2.\) Подходит \(t = 1.\) Разделим многочлен \({t^3}-4{t^2} + 5t-2\) на многочлен \(t-1:\) Следовательно, многочлен \({t^3}-4{t^2} + 5t-2\) раскладывается на множители \(\left( {{t^2}-3t + 2} \right)\left( {t-1} \right).\) Тогда: \(t\left( {{t^3}-4{t^2} + 5t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^2}-3t + 2} \right)\left( {t-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\,}\\{t = 2,\,}\\{t = 1,\,\,}\\{t = 1\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,}\\{t = 2,}\\{t = 1.\,}\end{array}} \right.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 0,}\\{t = 1,\,}\\{t \ge 2\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \le 0,}\\{\lg x = 1,\,}\\{\lg x \ge 2\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \le \lg 1,\;\;\;\;\,}\\{\lg x = \lg 10,\;\,\,}\\{\lg x \ge \lg 100\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\,\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le 1,}\\{x = 10,\;\,\;\,}\\{x \ge 100.\;\,}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;1} \right] \cup \left\{ {10} \right\} \cup \left[ {100;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;1} \right] \cup \left\{ {10} \right\} \cup \left[ {100;\;\infty } \right).\) 
