\({5^{\log _5^2x}} + {x^{{{\log }_5}x}} \ge 2\sqrt[4]{5}.\)
Запишем ОДЗ: \(x > 0.\)
\({5^{\log _5^2x}} + {x^{{{\log }_5}x}} \ge 2\sqrt[4]{5}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,{\left( {{5^{{{\log }_5}x}}} \right)^{{{\log }_5}x}} + {x^{{{\log }_5}x}} \ge 2 \cdot \sqrt[4]{5}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{{{\log }_5}x}} + {x^{{{\log }_5}x}} \ge 2 \cdot \sqrt[4]{5}\,\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {x^{{{\log }_5}x}} \ge 2 \cdot \sqrt[4]{5}\left| {:2} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{{{\log }_5}x}} \ge {5^{\frac{1}{4}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\log _5}{x^{{{\log }_5}x}} \ge {\log _5}{5^{\frac{1}{4}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _5}x \cdot {\log _5}x \ge \dfrac{1}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _5^2x \ge \dfrac{1}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_5}x \le -\dfrac{1}{2},}\\{{{\log }_5}x \ge \dfrac{1}{2}\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_5}x \le {{\log }_5}{5^{-\frac{1}{2}}},}\\{{{\log }_5}x \ge {{\log }_5}{5^{\frac{1}{2}}}\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le \dfrac{1}{{\sqrt 5 }},}\\{x \ge \sqrt 5 .\,\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right] \cup \left[ {\sqrt 5 ;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right] \cup \left[ {\sqrt 5 ;\;\infty } \right).\)