\({3^{\log _3^2x}} + {x^{{{\log }_3}x}} > 2\sqrt[4]{3}.\)
Запишем ОДЗ: \(x > 0.\)
\({3^{\log _3^2x}} + {x^{{{\log }_3}x}} > 2\sqrt[4]{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,{\left( {{3^{{{\log }_3}x}}} \right)^{{{\log }_3}x}} + {x^{{{\log }_3}x}} > 2 \cdot \sqrt[4]{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{{{\log }_3}x}} + {x^{{{\log }_3}x}} > 2 \cdot \sqrt[4]{3}\,\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {x^{{{\log }_3}x}} > 2 \cdot \sqrt[4]{3}\left| {:2} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^{{{\log }_3}x}} > {3^{\frac{1}{4}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\log _3}{x^{{{\log }_3}x}} > {\log _3}{3^{\frac{1}{4}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}x \cdot {\log _3}x > \dfrac{1}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _3^2x > \dfrac{1}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x < -\dfrac{1}{2},}\\{{{\log }_3}x > \dfrac{1}{2}\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x < {{\log }_3}{3^{-\frac{1}{2}}},}\\{{{\log }_3}x > {{\log }_3}{3^{\dfrac{1}{2}}}\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < \dfrac{1}{{\sqrt 3 }},}\\{x > \sqrt 3 .\,\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\;\infty } \right).\)