Задача 45. Решите неравенство \(\dfrac{2}{{{{\log }_2}\left( {2x — 2} \right)}} + \dfrac{3}{{{{\log }_2}\left( {4x — 4} \right)}} \leqslant \dfrac{8}{{{{\log }_3}27 + {{\log }_2}\left( {x — 1} \right)}}\)
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{9}{8};\,\dfrac{5}{4}} \right) \cup \left[ {1 + \dfrac{1}{{2\,\,\sqrt[3]{4}}};\,\dfrac{3}{2}} \right) \cup \left[ {3;\,\infty } \right).\)
\(\dfrac{2}{{{{\log }_2}\left( {2x-2} \right)}} + \dfrac{3}{{{{\log }_2}\left( {4x-4} \right)}} \le \dfrac{8}{{{{\log }_3}27 + {{\log }_2}\left( {x-1} \right)}}.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x-2 > 0,}\\{4x-4 > 0,}\\{x-1 > 0\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 1.\) \(\dfrac{2}{{{{\log }_2}\left( {2x-2} \right)}} + \dfrac{3}{{{{\log }_2}\left( {4x-4} \right)}} \le \dfrac{8}{{{{\log }_3}27 + {{\log }_2}\left( {x-1} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{2}{{{{\log }_2}2\left( {x-1} \right)}} + \dfrac{3}{{{{\log }_2}4\left( {x-1} \right)}} \le \dfrac{8}{{{{\log }_3}27 + {{\log }_2}\left( {x-1} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{2}{{1 + {{\log }_2}\left( {x-1} \right)}} + \dfrac{3}{{2 + {{\log }_2}\left( {x-1} \right)}} \le \dfrac{8}{{3 + {{\log }_2}\left( {x-1} \right)}}.\) Пусть \({\log _2}\left( {x-1} \right) = t.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\dfrac{2}{{1 + t}} + \dfrac{3}{{2 + t}} \le \dfrac{8}{{3 + t}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2\left( {2 + t} \right)\left( {3 + t} \right) + 3\left( {1 + t} \right)\left( {3 + t} \right)-8\left( {1 + t} \right)\left( {2 + t} \right)}}{{\left( {1 + t} \right)\left( {2 + t} \right)\left( {3 + t} \right)}} \le 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{12 + 4t + 6t + 2{t^2} + 9 + 3t + 9t + 3{t^2}-16-8t-16t-8{t^2}}}{{\left( {1 + t} \right)\left( {2 + t} \right)\left( {3 + t} \right)}} \le 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{-3{t^2}-2t + 5}}{{\left( {1 + t} \right)\left( {2 + t} \right)\left( {3 + t} \right)}} \le 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3{t^2} + 2t-5}}{{\left( {1 + t} \right)\left( {2 + t} \right)\left( {3 + t} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Найдём нули числителя: \(3{t^2} + 2t-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -\dfrac{5}{3},}\\{t = 1.\;\,\;\;}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(\left( {1 + t} \right)\left( {2 + t} \right)\left( {3 + t} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -1,}\\{t = -2,}\\{t = -3.}\end{array}} \right.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 < t < -2,\,}\\{-\dfrac{5}{3} \le t < -1,}\\{t \ge 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 < {{\log }_2}\left( {x-1} \right) < -2,\,}\\{-\frac{5}{3} \le {{\log }_2}\left( {x-1} \right) < -1,}\\{{{\log }_2}\left( {x-1} \right) \ge 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\dfrac{1}{8} < {{\log }_2}\left( {x-1} \right) < {{\log }_2}\dfrac{1}{4},\;\;\;\;\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\dfrac{1}{{2\sqrt[3]{4}}} \le {{\log }_2}\left( {x-1} \right) < {{\log }_2}\dfrac{1}{2},}\\{{{\log }_2}\left( {x-1} \right) \ge {{\log }_2}2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{9}{8} < x < \dfrac{5}{4},\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{1 + \dfrac{1}{{2\sqrt[3]{4}}} \le x < \dfrac{3}{2},}\\{x \ge 3\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\dfrac{9}{8};\,\dfrac{5}{4}} \right) \cup \left[ {1 + \dfrac{1}{{2\,\,\sqrt[3]{4}}};\,\dfrac{3}{2}} \right) \cup \left[ {3;\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {\dfrac{9}{8};\,\dfrac{5}{4}} \right) \cup \left[ {1 + \dfrac{1}{{2\,\,\sqrt[3]{4}}};\,\dfrac{3}{2}} \right) \cup \left[ {3;\,\infty } \right).\) 