Задача 46. Решите неравенство \(\dfrac{8}{{{{\log }_2}16x}} \geqslant \dfrac{3}{{{{\log }_2}8x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_2}2x}}\)
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{1}{{16}};\,\dfrac{1}{8}} \right) \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{8};\,\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left[ {1;\,\infty } \right).\)
\(\dfrac{8}{{{{\log }_2}16x}} \ge \dfrac{3}{{{{\log }_2}8x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_2}2x}}.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16x > 0,}\\{8x > 0,\;\;}\\{2x > 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \(\dfrac{8}{{{{\log }_2}16x}} \ge \dfrac{3}{{{{\log }_2}8x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_2}2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{8}{{4 + {{\log }_2}x}} \ge \dfrac{3}{{3 + {{\log }_2}x}} + \dfrac{1}{{1 + {{\log }_2}x}}.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\dfrac{8}{{4 + t}} \ge \dfrac{3}{{3 + t}} + \dfrac{1}{{1 + t}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{8\left( {3 + t} \right)\left( {1 + t} \right)-3\left( {4 + t} \right)\left( {1 + t} \right)-\left( {4 + t} \right)\left( {3 + t} \right)}}{{\left( {4 + t} \right)\left( {3 + t} \right)\left( {1 + t} \right)}} \ge 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{24 + 24t + 8t + 8{t^2}-12-12t-3t-3{t^2}-12-4t-3t-{t^2}}}{{\left( {4 + t} \right)\left( {3 + t} \right)\left( {1 + t} \right)}} \ge 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4{t^2} + 10t}}{{\left( {4 + t} \right)\left( {3 + t} \right)\left( {1 + t} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t\left( {4t + 10} \right)}}{{\left( {4 + t} \right)\left( {3 + t} \right)\left( {1 + t} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 < t < -3,\,}\\{-\dfrac{5}{2} \le t < -1,}\\{t \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 < {{\log }_2}x < -3,\;\,}\\{-\dfrac{5}{2} \le {{\log }_2}x < -1,\,}\\{{{\log }_2}x \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\dfrac{1}{{16}} < {{\log }_2}x < {{\log }_2}\dfrac{1}{8},\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\dfrac{{\sqrt 2 }}{8} \le {{\log }_2}x < {{\log }_2}\dfrac{1}{2},}\\{{{\log }_2}x \ge {{\log }_2}1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{{16}} < x < \dfrac{1}{8},\,\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sqrt 2 }}{8} \le x < \dfrac{1}{2},}\\{x \ge 1\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\dfrac{1}{{16}};\,\dfrac{1}{8}} \right) \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{8};\,\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left[ {1;\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {\dfrac{1}{{16}};\,\dfrac{1}{8}} \right) \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{8};\,\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left[ {1;\,\infty } \right).\) 