Задача 16. Решите неравенство \(\left( {{5^{x + 2}} + {5^{2\; — \;x}}} \right){x^2} \geqslant \dfrac{{125{x^2}}}{2}\)
ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — {{\log }_5}2} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {{{\log }_5}2;\;\infty } \right).\)
\(\left( {{5^{x + 2}} + {5^{2-x}}} \right){x^2} \ge \dfrac{{125{x^2}}}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}\left( {25 \cdot {5^x} + \dfrac{{25}}{{{5^x}}}-\dfrac{{125}}{2}} \right) \ge 0.\) Так как \({x^2} \ge 0,\) то последнее неравенство равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 0,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{25 \cdot {5^x} + \dfrac{{25}}{{{5^x}}}-\dfrac{{125}}{2} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{25 \cdot {5^x} + \dfrac{{25}}{{{5^x}}}-\dfrac{{125}}{2} \ge 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим неравенство: \(25 \cdot {5^x} + \dfrac{{25}}{{{5^x}}}-\dfrac{{125}}{2} \ge 0\left| { \cdot {5^x} > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,25 \cdot {{\left( {{5^x}} \right)}^2}-\dfrac{{125}}{2} \cdot {5^x} + 25 \ge 0.} \right.\) Пусть \({5^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(25{t^2}-\dfrac{{125}}{2}t + 25 \ge 0\left| {:\dfrac{{25}}{2}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{t^2}-5t + 2 \ge 0.\) \(2{t^2}-5t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \dfrac{1}{2},}\\{{t} = 2.\,}\end{array}} \right.\) \(2{t^2}-5t + 2 \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2t-1} \right)\left( {t-2} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le \dfrac{1}{2},}\\{t \ge 2\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^x} \le \dfrac{1}{2},}\\{{5^x} \ge 2\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^x} \le {5^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}},}\\{{5^x} \ge {5^{{{\log }_5}2}}\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le {{\log }_5}\dfrac{1}{2},}\\{x \ge {{\log }_5}2\,\,\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -{{\log }_5}2,}\\{x \ge {{\log }_5}2.\;\;\,}\end{array}} \right.} \right.\) Следовательно, решением исходного неравенства является совокупность: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{x \in \left( {-\infty ;-{{\log }_5}2} \right] \cup \left[ {{{\log }_5}2;\infty } \right).}\end{array}} \right.\) Таким образом: \(x \in \,\left( {-\infty ;-{{\log }_5}2} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {{{\log }_5}2;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-{{\log }_5}2} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {{{\log }_5}2;\infty } \right).\) 