Задача 23. Решите неравенство \(\sqrt {2 \cdot {9^x} — 7 \cdot {3^{x + 1}} + 10} \geqslant {3^x} — 10\)
ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\; — {{\log }_3}2} \right] \cup \left[ {{{\log }_3}10;\;\infty } \right).\)
\(\sqrt {2 \cdot {9^x}-7 \cdot {3^{x + 1}} + 10} \ge {3^x}-10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {2 \cdot {3^{2x}}-21 \cdot {3^x} + 10} \ge {3^x}-10.\) Пусть \({3^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\sqrt {2{t^2}-21t + 10} \ge t-10,\) которое равносильно следующей совокупности систем: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{t^2}-21t + 10 \ge 0,}\\{t-10 < 0\,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t-10 \ge 0,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{2{t^2}-21t + 10 \ge {{\left( {t-10} \right)}^2}}\end{array}\;\,} \right.}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {t-10} \right)\left( {2t-1} \right) \ge 0,}\\{t < 10\,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge 10,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{t^2}-t-90 \ge 0}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {t-10} \right)\left( {2t-1} \right) \ge 0,}\\{t < 10\,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge 10,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left( {t-10} \right)\left( {t + 9} \right) \ge 0}\end{array}\;\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le \dfrac{1}{2},}\\{t \ge 10}\end{array}} \right.}\\{t < 10\;\,}\end{array}\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge 10,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -9,}\\{t \ge 10}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le \dfrac{1}{2},}\\{t \ge 10.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} \le \frac{1}{2},}\\{{3^x} \ge 10\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} \le {3^{{{\log }_3}\frac{1}{2}}},\,}\\{{3^x} \ge {3^{{{\log }_3}10}}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -{{\log }_3}2,}\\{x \ge {{\log }_3}10.\;}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-{{\log }_3}2} \right] \cup \left[ {{{\log }_3}10;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-{{\log }_3}2} \right] \cup \left[ {{{\log }_3}10;\;\infty } \right).\)