Показательные неравенства повышенной сложности. Задача 34

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,0} \right) \cup \left( {{{\log }_2}3;\,3} \right).\)

\({2^x} \cdot {27^{\frac{1}{x}}} < 24\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^x} \cdot {3^{\frac{3}{x}}} < {2^3} \cdot 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^x} \cdot {3^{\frac{3}{x}}} < {2^3} \cdot 3\left| {:\left( {{2^3} \cdot {3^{\frac{3}{x}}}} \right)} \right. > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{x-3}} < {3^{1-\frac{3}{x}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{x-3}} < {\left( {{2^{{{\log }_2}3}}} \right)^{^{\frac{{x-3}}{x}}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{x-3}} < {2^{\frac{{\left( {x-3} \right){{\log }_2}3}}{x}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;x-3 < \dfrac{{\left( {x-3} \right){{\log }_2}3}}{x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x-3} \right)x-\left( {x-3} \right){{\log }_2}3}}{x} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x-3} \right)\left( {x-{{\log }_2}3} \right)}}{x} < 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\,0} \right) \cup \left( {{{\log }_2}3;\,3} \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\,0} \right) \cup \left( {{{\log }_2}3;\,3} \right).\)