Показательные неравенства повышенной сложности. Задача 35

ОТВЕТ: \(\left( {0;\,{{\log }_3}2} \right) \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)

\({3^x} \cdot {4^{\frac{1}{x}}} > 18\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^x} \cdot {2^{\frac{2}{x}}} > 2 \cdot {3^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^x} \cdot {2^{\frac{2}{x}}} > 2 \cdot {3^2}\left| {:\left( {{3^2} \cdot {2^{\frac{2}{x}}}} \right) > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{x-2}} > {2^{1-\frac{2}{x}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{x-2}} > {\left( {{3^{{{\log }_3}2}}} \right)^{^{\frac{{x-2}}{x}}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{x-2}} > {3^{\frac{{\left( {x-2} \right){{\log }_3}2}}{x}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;x-2 > \dfrac{{\left( {x-2} \right){{\log }_3}2}}{x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x-2} \right)x-\left( {x-2} \right){{\log }_3}2}}{x} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-{{\log }_3}2} \right)}}{x} > 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {0;\,{{\log }_3}2} \right) \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {0;\,{{\log }_3}2} \right) \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)