36 (ЕГЭ 2025). Решите неравенство \(\dfrac{{{x^3}-{x^2}-x + 1}}{{{9^{{x^2}}}-18 \cdot {3^{{x^2}}} + 81}} \le 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;-\sqrt 2 } \right) \cup \left( {-\sqrt 2 ;-1} \right] \cup \left\{ 1 \right\}.\)
Найдём ОДЗ: \({9^{{x^2}}}-18 \cdot {3^{{x^2}}} + 81 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {{3^{{x^2}}}} \right)^2}-2 \cdot {3^{{x^2}}} \cdot 9 + {9^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {{3^{{x^2}}}-9} \right)^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{3^{{x^2}}}-9 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{3^{{x^2}}} \ne {3^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} \ne 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne \pm \sqrt 2 .\) Преобразуем заданное неравенство: \(\dfrac{{{x^3}-{x^2}-x + 1}}{{{9^{{x^2}}}-18 \cdot {3^{{x^2}}} + 81}} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}\left( {x-1} \right)-\left( {x-1} \right)}}{{{{\left( {{3^{{x^2}}}-9} \right)}^2}}} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x-1} \right)\left( {{x^2}-1} \right)}}{{{{\left( {{3^{{x^2}}}-9} \right)}^2}}} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x-1} \right)\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {{3^{{x^2}}}-9} \right)}^2}}} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {{3^{{x^2}}}-9} \right)}^2}}} \le 0.\) Так как \({\left( {{3^{{x^2}}}-9} \right)^2} > 0\) при \(x \ne \pm \sqrt 2 ,\) то последнее неравенство равносильно следующей системе: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x-1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) \le 0,\\x \ne \pm \sqrt 2 .\end{array} \right.\) Решим неравенство \({\left( {x-1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) \le 0\) методом интервалов: Таким образом, решением неравенства \({\left( {x-1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) \le 0\) является: \(x \in \left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left\{ 1 \right\}.\) Так как \(x \ne \pm \sqrt 2 ,\) то решением исходного неравенства является \(x \in \left( {-\infty ;-\sqrt 2 } \right) \cup \left( {-\sqrt 2 ;-1} \right] \cup \left\{ 1 \right\}.\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-\sqrt 2 } \right) \cup \left( {-\sqrt 2 ;-1} \right] \cup \left\{ 1 \right\}.\) 