\({\log _7}\left( {4x + 11} \right)-{\log _7}\left( {25-{x^2}} \right) \ge \sin \dfrac{{11\pi }}{2}.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 11 > 0,}\\{25-{x^2} > 0\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -\dfrac{{11}}{4},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x-5} \right)\left( {x + 5} \right) < 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\dfrac{{11}}{4};\infty } \right),}\\{x \in \left( {-5;5} \right).\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Найдём общее решение полученной системы:
Следовательно, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {-\dfrac{{11}}{4};5} \right).\)
Заметим, что \(\sin \dfrac{{11\pi }}{2} = -1.\) Тогда исходное неравенство примет вид:
\({\log _7}\left( {4x + 11} \right)-{\log _7}\left( {25-{x^2}} \right) \ge -1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,{\log _7}\left( {4x + 11} \right) + 1 \ge {\log _7}\left( {25-{x^2}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\,{\log _7}\left( {4x + 11} \right) + {\log _7}7 \ge {\log _7}\left( {25-{x^2}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,{\log _7}\left( {7\left( {4x + 11} \right)} \right) \ge {\log _7}\left( {25-{x^2}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;28x + 77 \ge 25-{x^2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{x^2} + 28x + 52 \ge 0.\)
\({x^2} + 28x + 52 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = -26,}\\{{x} = -2.\;\;}\end{array}} \right.\)
\({x^2} + 28x + 52 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 26} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-26} \right] \cup \left[ {-2;\infty } \right)\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-2;\;5} \right).\)
Ответ: \(\left[ {-2;\;5} \right).\)