Задача 10. Решите неравенство \({\log _3}\left( {15-\dfrac{4}{x}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {5-\dfrac{x}{3}} \right) \ge 1\).
ОТВЕТ: \(\left[ {-2;\;0} \right) \cup \left[ {2;\;15} \right).\)
\({\log _3}\left( {15-\dfrac{4}{x}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {5-\dfrac{x}{3}} \right) \ge 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15-\dfrac{4}{x} > 0,}\\{5-\dfrac{x}{3} > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{15x-4}}{x} > 0,}\\{\dfrac{{15-x}}{3} > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{15x-4}}{x} > 0,\,}\\{x-15 < 0\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{4}{{15}};\infty } \right),}\\{x \in \left( {-\infty ;15} \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Следовательно, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{4}{{15}};15} \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _3}\left( {15-\dfrac{4}{x}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {5-\dfrac{x}{3}} \right) \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {15-\dfrac{4}{x}} \right)-{\log _3}\left( {5-\dfrac{x}{3}} \right) \ge {\log _3}3\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {15-\dfrac{4}{x}} \right) \ge {\log _3}3 + {\log _3}\left( {5-\dfrac{x}{3}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {15-\dfrac{4}{x}} \right) \ge {\log _3}\left( {3\left( {5-\dfrac{x}{3}} \right)} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\,\,\,\,\,15-\dfrac{4}{x} \ge 15-x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{15x-4}}{x}-15 + x \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{15x-4-15x + {x^2}}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2}-4}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{x} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Значит, \(x \in \left[ {-2;0} \right) \cup \left[ {2;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-2;\;0} \right) \cup \left[ {2;\;15} \right).\) Ответ: \(\left[ {-2;\;0} \right) \cup \left[ {2;\;15} \right).\) 
