\({3^{{{\log }_2}{x^2}}} + 2 \cdot {\left| x \right|^{{{\log }_2}9}} \le 3 \cdot {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{{{\log }_{0,5}}\left( {2x + 3} \right)}}.\)
Запишем ОДЗ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{2x + 3 > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\;\;}\\{x > -\dfrac{3}{2}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\dfrac{3}{2};0} \right)} \right. \cup \left( {0;\infty } \right).\)
Вернёмся к исходному неравенству. Так как:
\({a^{{{\log }_c}b}} = {a^{\frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}b}}} \right)^{\frac{1}{{{{\log }_a}c}}}} = {b^{{{\log }_c}a}},\) то:
\({3^{{{\log }_2}{x^2}}} + 2 \cdot {\left| x \right|^{{{\log }_2}9}} \le 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{{\log }_{0,5}}\left( {2x + 3} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;{3^{{{\log }_2}{x^2}}} + 2 \cdot {9^{{{\log }_2}\left| x \right|}} \le 3 \cdot {3^{{{\log }_2}\left( {2x + 3} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\;\;\;{3^{{{\log }_2}{x^2}}} + 2 \cdot {3^{2\,\,{{\log }_2}\left| x \right|}} \le 3 \cdot {3^{{{\log }_2}\left( {2x + 3} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;{3^{{{\log }_2}{x^2}}} + 2 \cdot {3^{{{\log }_2}{x^2}}} \le 3 \cdot {3^{{{\log }_2}\left( {2x + 3} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\)
\( \Leftrightarrow \,\;\;\;3 \cdot {3^{{{\log }_2}{x^2}}} \le 3 \cdot {3^{{{\log }_2}\left( {2x + 3} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;{3^{{{\log }_2}{x^2}}} \le {3^{{{\log }_2}\left( {2x + 3} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;{\log _2}{x^2} \le {\log _2}\left( {2x + 3} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\,\;{x^2} \le 2x + 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;{x^2}-2x-3 \le 0.\)
\({x^2}-2x-3 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 3,\;\;}\\{{x} = -1.}\end{array}} \right.\)
\({x^2}-2x-3 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right)\left( {x + 1} \right) \le 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \,\;\;\;x \in \left[ {-1;3} \right].\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-1;\;0} \right) \cup \left( {0;\;3} \right].\)
Ответ: \(x \in \left[ {-1;\;0} \right) \cup \left( {0;\;3} \right].\)