\({7^{{{\log }_5}{x^2}}} + 6 \cdot {\left| x \right|^{{{\log }_5}49}} \le 7 \cdot {\left( {\dfrac{1}{7}} \right)^{{{\log }_{0,2}}\left( {3x + 4} \right)}}.\)
Запишем ОДЗ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{3x + 4 > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\;\;}\\{x > -\dfrac{4}{3}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\dfrac{4}{3};0} \right)} \right. \cup \left( {0;\infty } \right).\)
Вернёмся к исходному неравенству. Так как: \({a^{{{\log }_c}b}} = {a^{\frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}b}}} \right)^{\frac{1}{{{{\log }_a}c}}}} = {b^{{{\log }_c}a}},\) то:
\({7^{{{\log }_5}{x^2}}} + 6 \cdot {\left| x \right|^{{{\log }_5}49}} \le 7 \cdot {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{{\log }_{0,2}}\left( {3x + 4} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;{7^{{{\log }_5}{x^2}}} + 6 \cdot {49^{{{\log }_5}\left| x \right|}} \le 7 \cdot {7^{{{\log }_5}\left( {3x + 4} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\;\;\;{7^{^{{{\log }_5}{x^2}}}} + 6 \cdot {7^{2\,{{\log }_5}\left| x \right|}} \le 7 \cdot {7^{{{\log }_5}\left( {3x + 4} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;{7^{^{{{\log }_5}{x^2}}}} + 6 \cdot {7^{^{{{\log }_5}{x^2}}}} \le 7 \cdot {7^{{{\log }_5}\left( {3x + 4} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\;\;\;7 \cdot {7^{{{\log }_5}{x^2}}} \le 7 \cdot {7^{{{\log }_5}\left( {3x + 4} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;{7^{{{\log }_5}{x^2}}} \le {7^{{{\log }_5}\left( {3x + 4} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;{\log _5}{x^2} \le {\log _5}\left( {3x + 4} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\,\;{x^2} \le 3x + 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;{x^2}-3x-4 \le 0.\)
\({x^2}-3x-4 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 4,\;\;}\\{{x} = -1.}\end{array}} \right.\)
\({x^2}-3x-4 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-4} \right)\left( {x + 1} \right) \le 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \,\;\;\;x \in \left[ {-1;4} \right].\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-1;\;0} \right) \cup \left( {0;\;4} \right].\)
Ответ: \(\left[ {-1;\;0} \right) \cup \left( {0;\;4} \right].\)