Логарифмические неравенства повышенной сложности. Задача 14math100admin44242025-03-17T17:08:02+03:00
Задача 14. Решите неравенство \({\log _5}\left( {{{\log }_3}\dfrac{{2x + 1}}{x}} \right) \ge 0\).
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {0;\;1} \right].\)
Решение
\({\log _5}\left( {{{\log }_3}\dfrac{{2x + 1}}{x}} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _5}\left( {{{\log }_3}\dfrac{{2x + 1}}{x}} \right) \ge {\log _5}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\dfrac{{2x + 1}}{x} \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\dfrac{{2x + 1}}{x} \ge {\log _3}3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2x + 1}}{x} \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2x + 1}}{x}-3 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{1-x}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x-1}}{x} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;1} \right].\)
Ответ: \(\left( {0;\;1} \right].\)