\({\log _{0,5}}\left( {{{\log }_4}\left( {{{\log }_3}\dfrac{{5x + 1}}{{x-15}}} \right)} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,5}}\left( {{{\log }_4}\left( {{{\log }_3}\dfrac{{5x + 1}}{{x-15}}} \right)} \right) \ge {\log _{0,5}}1.\)
Так как \(0,5 < 1,\) то неравенство примет вид:
\(0 < {\log _4}\left( {{{\log }_3}\dfrac{{5x + 1}}{{x-15}}} \right) \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _4}1 < {\log _4}\left( {{{\log }_3}\dfrac{{5x + 1}}{{x-15}}} \right) \le {\log _4}4\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;1 < {\log _3}\dfrac{{5x + 1}}{{x-15}} \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}3 < {\log _3}\dfrac{{5x + 1}}{{x-15}} \le {\log _3}81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;3 < \;\dfrac{{5x + 1}}{{x-15}} \le 81\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{5x + 1}}{{x-15}} > 3,}\\{\dfrac{{5x + 1}}{{x-15}} \le 81}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{2x + 46}}{{x-15}} > 0,\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{{-76x + 1216}}{{x-15}} \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x + 23\;\;\,}}{{x-15\;\;\;}} > 0,}\\{\dfrac{{x-16}}{{x-15}} \ge 0\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-23} \right) \cup \left( {15;\infty } \right),}\\{x \in \left( {-\infty ;15} \right) \cup \left[ {16;\infty } \right).\;\;\,}\end{array}} \right.\)
Найдём общее решение полученной системы:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-23} \right) \cup \left[ {16;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-23} \right) \cup \left[ {16;\;\infty } \right).\)