\(2{\log _2}\dfrac{{x + 2}}{{x-3,7}} + {\log _2}{\left( {x-3,7} \right)^2} \ge 2.\)
Найдем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x + 2}}{{x-3,7}} > 0,\,\,\,\;\,}\\{{{\left( {x-3,7} \right)}^2} > 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x + 2}}{{x-3,7}} > 0,}\\{x \ne 3,7\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \,\left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {3,7;\infty } \right).\)
Вернёмся к исходному неравенству:
\(2{\log _2}\dfrac{{x + 2}}{{x-3,7}} + {\log _2}{\left( {x-3,7} \right)^2} \ge 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x-3,7}}} \right)^2} + {\log _2}{\left( {x-3,7} \right)^2} \ge 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} \cdot {{\left( {x-3,7} \right)}^2}}}{{{{\left( {x-3,7} \right)}^2}}} \ge 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}{\left( {x + 2} \right)^2} \ge {\log _2}4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x + 2} \right)^2} \ge 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 2-2} \right)\left( {x + 2 + 2} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x + 4} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-4} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right).\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(\left( {-\infty ;\;-4} \right] \cup \left( {3,7;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-4} \right] \cup \left( {3,7;\;\infty } \right).\)