\({\log _2}\left( {3x-2} \right)-{\log _2}\left( {36-{x^2}} \right) \ge \sin \dfrac{{15\pi }}{2}.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-2 > 0,\;}\\{36-{x^2} > 0\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \dfrac{2}{3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x-6} \right)\left( {x + 6} \right) < 0\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {\dfrac{2}{3};\infty } \right),}\\{x \in \left( {-6;6} \right).\;}\end{array}} \right.} \right.\)
Найдём общее решение полученной системы:
Следовательно, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {\dfrac{2}{3};6} \right).\)
Заметим, что \(\sin \dfrac{{15\pi }}{2} = -1.\) Тогда исходное неравенство примет вид:
\({\log _2}\left( {3x-2} \right)-{\log _2}\left( {36-{x^2}} \right) \ge -1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,{\log _2}\left( {3x-2} \right) + 1 \ge {\log _2}\left( {36-{x^2}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\,{\log _2}\left( {3x-2} \right) + {\log _2}2 \ge {\log _2}\left( {36-{x^2}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,{\log _2}\left( {2\left( {3x-2} \right)} \right) \ge {\log _2}\left( {36-{x^2}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;6x-4 \ge 36-{x^2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{x^2} + 6x-40 \ge 0.\)
\({x^2} + 6x-40 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = -10,}\\{{x} = 4.\;\,\;\;}\end{array}} \right.\)
\({x^2} + 6x-40 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 10} \right)\left( {x-4} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-10} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right)\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {4;\;6} \right).\)
Ответ: \(\left[ {4;\;6} \right).\)