\({\log _3}\left( {{x^2}-x-2} \right) \le 1 + {\log _3}\dfrac{{x + 1}}{{x-2}}.\)
Найдем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-2 > 0,}\\{\dfrac{{x + 1}}{{x-2}} > 0\;\;\;\,\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right) > 0,}\\{\dfrac{{x + 1}}{{x-2}} > 0\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\)
Таким образом, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\)
Вернёмся к исходному неравенству:
\({\log _3}\left( {{x^2}-x-2} \right) \le 1 + {\log _3}\dfrac{{x + 1}}{{x-2}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right)-{\log _3}\dfrac{{x + 1}}{{x-2}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\dfrac{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x-2} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}{\left( {x-2} \right)^2} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}{\left( {x-2} \right)^2} \le {\log _3}3\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-2} \right)^2} \le 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-\sqrt 3 \le x-2 \le \sqrt 3 \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2-\sqrt 3 \le x \le 2 + \sqrt 3 .\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {2;\;2 + \sqrt 3 } \right].\)
Ответ: \(\left( {2;\;2 + \sqrt 3 } \right].\)