Задача 23. Решите неравенство \({\log _7}\left( {2{x^2} + 12} \right)-{\log _7}\left( {{x^2}-x + 12} \right) \ge {\log _7}\left( {2-\dfrac{1}{x}} \right)\).
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{1}{2};\;\dfrac{4}{3}} \right] \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)
\({\log _7}\left( {2{x^2} + 12} \right)-{\log _7}\left( {{x^2}-x + 12} \right) \ge {\log _7}\left( {2-\dfrac{1}{x}} \right).\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2} + 12 > 0,\;\;\,\,}\\{{x^2}-x + 12 > 0,}\end{array}}\\{2-\dfrac{1}{x} > 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x\, \in \,R,\;\;\;\;\,\,\,\,}\\{x\, \in \,R,\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{\dfrac{{2x-1}}{x} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2x-1}}{x} > 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};\infty } \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _7}\left( {2{x^2} + 12} \right)-{\log _7}\left( {{x^2}-x + 12} \right) \ge {\log _7}\left( {2-\dfrac{1}{x}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _7}\dfrac{{2{x^2} + 12}}{{{x^2}-x + 12}} \ge {\log _7}\left( {2-\dfrac{1}{x}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _7}\dfrac{{2{x^2} + 12}}{{{x^2}-x + 12}} \ge {\log _7}\left( {\dfrac{{2x-1}}{x}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{x^2} + 12}}{{{x^2}-x + 12}} \ge \dfrac{{2x-1}}{x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{x^2} + 12}}{{{x^2}-x + 12}}-\dfrac{{2x-1}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{x^3} + 12x-2{x^3} + {x^2} + 2{x^2}-x-24x + 12}}{{\left( {{x^2}-x + 12} \right)x}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3{x^2}-13x + 12}}{{\left( {{x^2}-x + 12} \right)x}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\dfrac{{\left( {x-3} \right)\left( {3x-4} \right)}}{{\left( {{x^2}-x + 12} \right)x}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x\, \in \,\left( {0;\dfrac{4}{3}} \right] \cup \left[ {3;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\dfrac{1}{2};\;\dfrac{4}{3}} \right] \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {\dfrac{1}{2};\;\dfrac{4}{3}} \right] \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\) 
