Логарифмические неравенства повышенной сложности. Задача 24

ОТВЕТ: \(\left( {1;\;\dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\)

\({\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right)-{\log _3}\left( {{x^2}-x + 12} \right) \ge {\log _3}\left( {1-\dfrac{1}{x}} \right).\)

Найдём ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2 > 0,\;\;\;\;\;\,\,}\\{{x^2}-x + 12 > 0,}\end{array}}\\{1-\dfrac{1}{x} > 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x\, \in \,R,\;\;\,\,\,\,}\\{x\, \in \,R,\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{\dfrac{{x-1}}{x} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x-1}}{x} > 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, ОДЗ:  \(x\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\)

Вернёмся к исходному неравенству:

\({\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right)-{\log _3}\left( {{x^2}-x + 12} \right) \ge {\log _3}\left( {1-\dfrac{1}{x}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\dfrac{{{x^2} + 2}}{{{x^2}-x + 12}} \ge {\log _3}\left( {1-\dfrac{1}{x}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\dfrac{{{x^2} + 2}}{{{x^2}-x + 12}} \ge {\log _3}\left( {\dfrac{{x-1}}{x}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2} + 2}}{{{x^2}-x + 12}} \ge \dfrac{{x-1}}{x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2} + 2}}{{{x^2}-x + 12}}-\dfrac{{x-1}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^3} + 2x-{x^3} + {x^2} + {x^2}-x-12x + 12}}{{\left( {{x^2}-x + 12} \right)x}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{x^2}-11x + 12}}{{\left( {{x^2}-x + 12} \right)x}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\dfrac{{\left( {x-4} \right)\left( {2x-3} \right)}}{{\left( {{x^2}-x + 12} \right)x}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Следовательно,  \(x\, \in \,\left( {0;\dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right).\)

Найдём общее решение с ОДЗ:

Таким образом, решением исходного неравенства является:   \(x \in \left( {1;\;\dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {1;\;\dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\)