Задача 26. Решите неравенство \({\log _2}\left( {17{x^2} + 16} \right)-{\log _2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ge {\log _2}\left( {\dfrac{x}{{x + 10}} + 16} \right)\) .
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-23} \right] \cup \left( {-\dfrac{{160}}{{17}};\;0} \right].\)
\({\log _2}\left( {17{x^2} + 16} \right)-{\log _2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ge {\log _2}\left( {\dfrac{x}{{x + 10}} + 16} \right).\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{17{x^2} + 16 > 0,\;\;\,\,}\\{{x^2} + x + 1 > 0,\;\,\;\,}\end{array}}\\{\dfrac{x}{{x + 10}} + 16 > 0}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x\, \in \,R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\\{x\, \in \,R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{\dfrac{{17x + 160}}{{x + 10}} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{17x + 160}}{{x + 10}} > 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-10} \right) \cup \left( {-\dfrac{{160}}{{17}};\infty } \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _2}\left( {17{x^2} + 16} \right)-{\log _2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ge {\log _2}\left( {\dfrac{x}{{x + 10}} + 16} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\dfrac{{17{x^2} + 16}}{{{x^2} + x + 1}} \ge {\log _2}\left( {\dfrac{x}{{x + 10}} + 16} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\dfrac{{17{x^2} + 16}}{{{x^2} + x + 1}} \ge {\log _2}\dfrac{{17x + 160}}{{x + 10}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{17{x^2} + 16}}{{{x^2} + x + 1}} \ge \dfrac{{17x + 160}}{{x + 10}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{17{x^2} + 16}}{{{x^2} + x + 1}}-\dfrac{{17x + 160}}{{x + 10}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{17{x^3} + 16x + 170{x^2} + 160-17{x^3}-160{x^2}-17{x^2}-160x-17x-160}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 10} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{-7{x^2}-161x}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 10} \right)}} \ge 0\left| {:\left( {-7} \right)} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\dfrac{{x\left( {x + 23} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 10} \right)}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-23} \right] \cup \left( {-10;0} \right]\). Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-23} \right] \cup \left( {-\dfrac{{160}}{{17}};\;0} \right].\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-23} \right] \cup \left( {-\dfrac{{160}}{{17}};\;0} \right].\) 
