Задача 28. Решите неравенство \({\log _3}\left( {\dfrac{1}{x}-1} \right) + {\log _3}\left( {\dfrac{1}{x} + 1} \right) \le {\log _3}\left( {8x-1} \right)\).
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{1}{2};\;1} \right).\)
\({\log _3}\left( {\dfrac{1}{x}-1} \right) + {\log _3}\left( {\dfrac{1}{x} + 1} \right) \le {\log _3}\left( {8x-1} \right).\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x}-1 > 0,\;}\\{\dfrac{1}{x} + 1 > 0,\;}\end{array}}\\{8x-1 > 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство системы: \(\dfrac{1}{x}-1 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{1-x}}{x} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x-1}}{x} < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {0;1} \right).\) Рассмотрим второе неравенство системы: \(\dfrac{1}{x} + 1 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{1 + x}}{x} > 0.\) Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) Рассмотрим третье неравенство системы: \(8x-1 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > \dfrac{1}{8}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\dfrac{1}{8};\infty } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x}-1 > 0,}\\{\dfrac{1}{x} + 1 > 0,}\end{array}}\\{8x-1 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {0;1} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {0;\infty } \right),\;\;}\end{array}}\\{x \in \left( {\dfrac{1}{8};\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {\dfrac{1}{8};1} \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _3}\left( {\dfrac{1}{x}-1} \right) + {\log _3}\left( {\dfrac{1}{x} + 1} \right) \le {\log _3}\left( {8x-1} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {\dfrac{1}{x}-1} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + 1} \right) \le {\log _3}\left( {8x-1} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{{x^2}}}-1 \le 8x-1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{{x^2}}}-8x \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{1-8{x^3}}}{{{x^2}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{8{x^3}-1}}{{{x^2}}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x\, \in \,\left[ {\dfrac{1}{2};\;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right).\) Ответ: \(\left[ {\dfrac{1}{2};\;1} \right).\) 
