Задача 30. Решите неравенство \({\log _3}\left( {{x^2}-x-3} \right) + {\log _3}\left( {2{x^2} + x-3} \right) \ge {\log _3}{\left( {{x^2}-2} \right)^2} + 2 + {\log _{\frac{1}{3}}}4\).
ОТВЕТ: \(-2.\)
\({\log _3}\left( {{x^2}-x-3} \right) + {\log _3}\left( {2{x^2} + x-3} \right) \ge {\log _3}{\left( {{x^2}-2} \right)^2} + 2 + {\log _{\frac{1}{3}}}4.\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-3 > 0,\,\;}\\{2{x^2} + x-3 > 0,}\\{{{\left( {{x^2}-2} \right)}^2} > 0\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-\dfrac{{1-\sqrt {13} }}{2}} \right)\left( {x-\dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right) > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-1} \right)\left( {2x + 3} \right) > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2}-2 \ne 0\,\,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;\dfrac{{1-\sqrt {13} }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2};\infty } \right),}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-\dfrac{3}{2}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),\;\;\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{x \ne \pm \sqrt 2 .\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-\dfrac{3}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2};\infty } \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _3}\left( {{x^2}-x-3} \right) + {\log _3}\left( {2{x^2} + x-3} \right) \ge {\log _3}{\left( {{x^2}-2} \right)^2} + 2 + {\log _{\frac{1}{3}}}4\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\,\;{\log _3}\left( {{x^2}-x-3} \right) + {\log _3}\left( {2{x^2} + x-3} \right) \ge {\log _3}{\left( {{x^2}-2} \right)^2} + {\log _3}9 + {\log _3}{4^{-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {{x^2}-x-3} \right)\left( {2{x^2} + x-3} \right) \ge {\log _3}\dfrac{9}{4}{\left( {{x^2}-2} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-x-3} \right)\left( {2{x^2} + x-3} \right) \ge \dfrac{9}{4}{\left( {{x^2}-2} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2{x^4} + {x^3}-3{x^2}-2{x^3}-{x^2} + 3x-6{x^2}-3x + 9 \ge \dfrac{9}{4}{x^4}-9{x^2} + 9\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;-\dfrac{1}{4}{x^4}-{x^3}-{x^2} \ge 0\left| { \cdot \left( {-4} \right)} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}{\left( {x + 2} \right)^2} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\;\;}\\{x = -2.}\end{array}} \right.\) Так как ОДЗ \(x \in \left( {-\infty ;-\dfrac{3}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2};\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x = -2.\) Ответ: \(-2.\) 