Логарифмические неравенства повышенной сложности. Задача 32

Задача 32. Решите неравенство \(\dfrac{{2{x^2}-11x + 5}}{{{{\log }_{13}}\left( {x + 3} \right)}} \le 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-3;\;-2} \right) \cup \left[ {0,5;\;5} \right].\)

Решение

\(\dfrac{{2{x^2}-11x + 5}}{{{{\log }_{13}}\left( {x + 3} \right)}} \le 0.\)

Запишем ограничение на подлогарифмическое выражение: \(x + 3 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > -3.\)

Решим исходное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:

\(2{x^2}-11x + 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 0,5,}\\{{x} = 5.\,\;\;}\end{array}} \right.\)

Найдём нули знаменателя:

\({\log _{13}}\left( {x + 3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{13}}\left( {x + 3} \right) = {\log _{13}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x + 3 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -2.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-3;\;-2} \right) \cup \left[ {0,5;\;5} \right].\)

Ответ: \(\left( {-3;\;-2} \right) \cup \left[ {0,5;\;5} \right].\)