\(\dfrac{{\left( {2{x^2}-19x + 45} \right){{\log }_7}\left( {x-4} \right)}}{{{x^2}-13x + 42}} \le 0.\)
Запишем ограничение на подлогарифмическое выражение: \(x-4 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 4.\)
Решим исходное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:
\(\left( {2{x^2}-19x + 45} \right){\log _7}\left( {x-4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2}-19x + 45 = 0,}\\{{{\log }_7}\left( {x-4} \right) = 0\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {2x-9} \right)\left( {x-5} \right) = 0,}\\{x-4 = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,5,}\\{x = 5.\;\;\,\,}\end{array}} \right.\)
Найдём нули знаменателя:
\({x^2}-13x + 42 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-6} \right)\left( {x-7} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6,}\\{x = 7.}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {4;\;4,5} \right] \cup \left\{ 5 \right\} \cup \left( {6;\;7} \right).\)
Ответ: \(\left( {4;\;4,5} \right] \cup \left\{ 5 \right\} \cup \left( {6;\;7} \right).\)