\({x^2}{\log _{16}}x \ge {\log _{16}}{x^5} + x{\log _2}x.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\,}\\{{x^5} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)
\({x^2}{\log _{16}}x \ge {\log _{16}}{x^5} + x{\log _2}x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}{\log _{{2^4}}}x \ge 5{\log _{{2^4}}}x + x{\log _2}x\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{4}{x^2}{\log _2}x-\frac{5}{4}{\log _2}x-x{\log _2}x \ge 0\left| { \cdot 4} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}{\log _2}x-5{\log _2}x-4x{\log _2}x \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-4x-5} \right){\log _2}x \ge 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\left( {{x^2}-4x-5} \right){\log _2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-4x-5 = 0,}\\{{{\log }_2}x = 0\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 1} \right)\left( {x-5} \right) = 0,}\\{{{\log }_2}x = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = 5,\;\;}\\{x = 1.\;\;}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;1} \right] \cup \left[ {5;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {0;1} \right] \cup \left[ {5;\;\infty } \right).\)