\({x^2}{\log _{25}}x \ge {\log _{25}}{x^3} + x{\log _5}x.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\,}\\{{x^3} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)
\({x^2}{\log _{25}}x \ge {\log _{25}}{x^3} + x{\log _5}x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}{\log _{{5^2}}}x \ge 3{\log _{{5^2}}}x + x{\log _5}x\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{2}{x^2}{\log _5}x-\frac{3}{2}{\log _5}x-x{\log _5}x \ge 0\left| { \cdot 2} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left( {{x^2}-2x-3} \right){\log _5}x \ge 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\left( {{x^2}-2x-3} \right){\log _5}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-2x-3 = 0,}\\{{{\log }_5}x = 0\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 1} \right)\left( {x-3} \right) = 0,}\\{{{\log }_5}x = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = 3,\;\;}\\{x = 1.\;\;}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;1} \right] \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {0;\;1} \right] \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)