Задача 44. Решите неравенство \(\log _5^2\dfrac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}} > \log _{0,2}^{\;2}\dfrac{{x-3}}{3}\).
ОТВЕТ: \(\left( {3;\;4} \right) \cup \left( {4;\;7} \right) \cup \left( {8;\;\infty } \right).\)
\(\log _5^2\dfrac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}} > \log _{0,2}^{\;2}\dfrac{{x-3}}{3}.\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}} > 0,}\\{\dfrac{{x-3}}{3} > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Решим первое неравенство системы методом интервалов: Следовательно, \(x\, \in \,\left( {3;4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}} > 0,}\\{\dfrac{{x-3}}{3} > 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\, \in \,\left( {3;4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right),}\\{x\, \in \left( {3;\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {3;4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right).} \right.\) Вернёмся к исходному неравенству: \(\log _5^2\dfrac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}} > \log _{0,2}^{\;2}\dfrac{{x-3}}{3}\;\;\; \Leftrightarrow \) \(\Leftrightarrow \;\;\left( {{{\log }_5}\dfrac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}}-{{\log }_5}\dfrac{{x-3}}{3}} \right)\left( {{{\log }_5}\dfrac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}} + {{\log }_5}\dfrac{{x-3}}{3}} \right) > 0\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _5}\dfrac{1}{{16}}{\left( {x-4} \right)^2} \cdot {\log _5}\dfrac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}{{\left( {x-3} \right)}^2}}}{{144}} > 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x\, \in \,\left( {3;4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right)\): \({\log _5}\dfrac{1}{{16}}{\left( {x-4} \right)^2} \cdot {\log _5}\dfrac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}{{\left( {x-3} \right)}^2}}}{{144}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_5}\dfrac{1}{{16}}{{\left( {x-4} \right)}^2} = 0,\;\,\;}\\{{{\log }_5}\dfrac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}{{\left( {x-3} \right)}^2}}}{{144}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-4} \right)}^2} = {4^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{{\left( {\left( {x-4} \right)\left( {x-3} \right)} \right)}^2} = {{12}^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-4 = 4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x-4 = -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-7x + 12 = 12,\;}\\{{x^2}-7x + 12 = -12}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = 0,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-7x = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-7x + 24 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8,}\\{x = 0,}\\{x = 7,}\\{x \in R}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8,}\\{x = 0,}\\{x = 7.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {3;\;4} \right) \cup \left( {4;\;7} \right) \cup \left( {8;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {3;\;4} \right) \cup \left( {4;\;7} \right) \cup \left( {8;\;\infty } \right).\) 
