Логарифмические неравенства повышенной сложности. Задача 45

ОТВЕТ: \(\left[ {\sqrt {10} ;\;\infty } \right).\)

\({9^{\lg x}} + {x^{2\lg 3}} \ge 6.\)

Запишем ОДЗ:  \(x > 0.\)

\({9^{\lg x}} + {x^{2\lg 3}} \ge 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{9^{\lg x}} + {x^{\lg 9}} \ge 6.\)

Так как  \({a^{{{\log }_c}b}} = {a^{\frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}b}}} \right)^{\frac{1}{{{{\log }_a}c}}}} = {b^{{{\log }_c}a}},\)  то полученное неравенство примет вид: 

\({9^{\lg x}} + {9^{\lg x}} \ge 6\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {9^{\lg x}} \ge 6\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2\lg x}} \ge {3^1}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\lg x \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\,\lg x \ge \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\lg x \ge \lg \sqrt {10} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge \sqrt {10} .\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {\sqrt {10} ;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left[ {\sqrt {10} ;\;\infty } \right).\)