\({\left( {{x^2} + 1} \right)^{\lg \left( {7{x^2}-3x + 1} \right)}} + {\left( {7{x^2}-3x + 1} \right)^{\lg \left( {{x^2} + 1} \right)}} \le 2.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{7{x^2}-3x + 1 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,}\\{x \in R\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in R.\)
Так как \({a^{{{\log }_c}b}} = {a^{\frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}b}}} \right)^{\frac{1}{{{{\log }_a}c}}}} = {b^{{{\log }_c}a}},\) то полученное неравенство примет вид:
\({\left( {{x^2} + 1} \right)^{\lg \left( {7{x^2}-3x + 1} \right)}} + {\left( {{x^2} + 1} \right)^{\lg \left( {7{x^2}-3x + 1} \right)}} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\lg \left( {7{x^2}-3x + 1} \right)}} \le 2\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\lg \left( {7{x^2}-3x + 1} \right)}} \le 1\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\lg \left( {7{x^2}-3x + 1} \right)}} \le {\left( {{x^2} + 1} \right)^0}.\)
Так как \({x^2} + 1 \ge 1\) при \(x \in R,\) то:
\({\left( {{x^2} + 1} \right)^{\lg \left( {7{x^2}-3x + 1} \right)}} \le {\left( {{x^2} + 1} \right)^0}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\lg \left( {7{x^2}-3x + 1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\lg \left( {7{x^2}-3x + 1} \right) \le \lg 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;7{x^2}-3x + 1 \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {7x-3} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {0;\dfrac{3}{7}} \right].\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {0;\dfrac{3}{7}} \right].\)
Ответ: \(\left[ {0;\dfrac{3}{7}} \right].\)