\({\log _6}\left( {{{64}^x} + {{36}^x}-65 \cdot {8^x} + 64} \right) \ge 2x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _6}\left( {{{64}^x} + {{36}^x}-65 \cdot {8^x} + 64} \right) \ge {\log _6}{6^{2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{64^x} + {36^x}-65 \cdot {8^x} + 64 \ge {36^x}.\)
Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, не меньше показательной функции \({36^x}\), значение которой больше нуля при \(x \in R,\) поэтому исследовать ОДЗ \({64^x} + {36^x}-65 \cdot {8^x} + 64 > 0\) не требуется. Тогда полученное неравенство примет вид: \({64^x}-65 \cdot {8^x} + 64 \ge 0.\)
Пусть \({8^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\({t^2}-65t + 64 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-1} \right)\left( {t-64} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 1,\;\;\,}\\{t \ge 64.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{8^x} \le 1,\;\,}\\{{8^x} \ge 64}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{8^x} \le {8^0},}\\{{8^x} \ge {8^2}\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0,}\\{x \ge 2.}\end{array}} \right.} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;0} \right] \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right] \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)