\({\log _3}\left( {x + 5} \right) \ge {\log _{9-x}}\left( {9-x} \right).\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5 > 0,}\\{9-x \ne 1,\,}\\{9-x > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -5,}\\{x \ne 8,\;\,}\\{x < 9.\;\;}\end{array}} \right.\)
Найдём общее решение полученной системы:
Следовательно, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {-5;8} \right) \cup \left( {8;9} \right).\)
Вернёмся к исходному неравенству:
\({\log _3}\left( {x + 5} \right) \ge {\log _{9-x}}\left( {9-x} \right)\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\log _3}\left( {x + 5} \right) \ge 1\;\;\; \Leftrightarrow \,\)
\( \Leftrightarrow \,\;\;\;{\log _3}\left( {x + 5} \right) \ge {\log _3}3\;\;\; \Leftrightarrow \;\;x + 5 \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge -2.\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-2;\;8} \right) \cup \left( {8;\;9} \right).\)
Ответ: \(\left[ {-2;\;8} \right) \cup \left( {8;\;9} \right).\)