Задача 52. Решите неравенство \(\left( {x + 1} \right){\log _3}6 + {\log _3}\left( {{2^x}-\dfrac{1}{6}} \right) \le x-1\).
ОТВЕТ: \(\left( {-{{\log }_2}6;\;-{{\log }_2}3} \right].\)
\(\left( {x + 1} \right){\log _3}6 + {\log _3}\left( {{2^x}-\dfrac{1}{6}} \right) \le x-1.\) Найдём ОДЗ: \({2^x}-\dfrac{1}{6} > 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^x} > {2^{{{\log }_2}\dfrac{1}{6}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > {\log _2}\dfrac{1}{6}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > -{\log _2}6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-{{\log }_2}6;\infty } \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \(\left( {x + 1} \right){\log _3}6 + {\log _3}\left( {{2^x}-\dfrac{1}{6}} \right) \le x-1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}{6^{x + 1}} + {\log _3}\left( {{2^x}-\dfrac{1}{6}} \right) \le \left( {x-1} \right){\log _3}3\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {{6^{x + 1}} \cdot \left( {{2^x}-\dfrac{1}{6}} \right)} \right) \le {\log _3}{3^{x-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{6^x} \cdot 6 \cdot {2^x}-{6^x} \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{6} \le {3^{x-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;6 \cdot {12^x}-{6^x} \le \dfrac{{{3^x}}}{3}\left| {:{3^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;6 \cdot {4^x}-{2^x}-\dfrac{1}{3} \le 0.\) Пусть \({2^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(6{t^2}-t-\dfrac{1}{3} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;18{t^2}-3t-1 \le 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {6t + 1} \right)\left( {3t-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;-\dfrac{1}{6}\; \le t \le \dfrac{1}{3}.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} \ge -\dfrac{1}{6},}\\{{2^x} \le \dfrac{1}{3}\;\;\,\,\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} \ge -\dfrac{1}{6},\;}\\{{2^x} \le {2^{{{\log }_2}\dfrac{1}{3}}}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,\,\;\;\;\;\,}\\{x \le {{\log }_2}\dfrac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le -{\log _2}3.\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-{{\log }_2}6;\;-{{\log }_2}3} \right].\) Ответ: \(\left( {-{{\log }_2}6;\;-{{\log }_2}3} \right].\) 