Задача 57. Решите неравенство \(\dfrac{{{{\log }_4}\left( {{x^4}-4{x^3} + 4{x^2}} \right) + {{\log }_{0,25}}\left( {6{x^2}-12x-9} \right)}}{{{x^2}-2x-8}} \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left\{ {-1;\;3} \right\} \cup \left( {4;\;\infty } \right).\)
\(\dfrac{{{{\log }_4}\left( {{x^4}-4{x^3} + 4{x^2}} \right) + {{\log }_{0,25}}\left( {6{x^2}-12x-9} \right)}}{{{x^2}-2x-8}} \ge 0.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^4}-4{x^3} + 4{x^2} > 0,}\\{6{x^2}-12x-9 > 0\,\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}{{\left( {x-2} \right)}^2} > 0,\;\,}\\{2{x^2}-4x-3 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{x\, \in \,\left( {-\infty ;\dfrac{{2-\sqrt {10} }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{2 + \sqrt {10} }}{2};\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-\infty ;\dfrac{{2-\sqrt {10} }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{2 + \sqrt {10} }}{2};\infty } \right).\) Решим исходное неравенство методом интервалов при условии, что \(x\, \in \,\left( {-\infty ;\dfrac{{2-\sqrt {10} }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{2 + \sqrt {10} }}{2};\infty } \right).\) Найдём нули числителя: \({\log _4}\left( {{x^4}-4{x^3} + 4{x^2}} \right) + {\log _{0,25}}\left( {6{x^2}-12x-9} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _4}{\left( {{x^2}-2x} \right)^2} + {\log _{{4^{-1}}}}\left( {6\left( {{x^2}-2x} \right)-9} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _4}{\left( {{x^2}-2x} \right)^2} = {\log _4}\left( {6\left( {{x^2}-2x} \right)-9} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{x^2}-2x} \right)^2}-6\left( {{x^2}-2x} \right) + 9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{x^2}-2x-3} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2x-3 = 0\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = 3.\;\,}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \({x^2}-2x-8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,}\\{x = 4.\;\,}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left\{ {-1;\;3} \right\} \cup \left( {4;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left\{ {-1;\;3} \right\} \cup \left( {4;\;\infty } \right).\) 