Логарифмические неравенства повышенной сложности. Задача 59

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-2} \right] \cup \left\{ {-1} \right\} \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)

\(\left( {{4^{{x^2}-x-6}}-1} \right) \cdot {\log _{0,25}}\left( {{4^{{x^2} + 2x + 2}}-3} \right) \le 0.\)

Запишем ОДЗ:  \({4^{{x^2} + 2x + 2}}-3 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^{{x^2} + 2x + 2}} > {4^{{{\log }_4}3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 2x + 2 > {\log _4}3\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 2x + 2-{\log _4}3 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,D = 4-8 + 4{\log _4}3 = -4 + 4{\log _4}3 < 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in R.\)

Решим исходное неравенство методом интервалов:

\(\left( {{4^{{x^2}-x-6}}-1} \right) \cdot {\log _{0,25}}\left( {{4^{{x^2} + 2x + 2}}-3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^{{x^2}-x-6}}-1 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{{{\log }_{0,25}}\left( {{4^{{x^2} + 2x + 2}}-3} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^{{x^2}-x-6}} = {4^0},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_{0,25}}\left( {{4^{{x^2} + 2x + 2}}-3} \right) = {{\log }_{0,25}}1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-6 = 0,}\\{{4^{{x^2} + 2x + 2}} = {4^1}\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-6 = 0,\;}\\{{x^2} + 2x + 1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 2} \right)\left( {x-3} \right) = 0,}\\{{{\left( {x + 1} \right)}^2} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,}\\{x = 3,\;\;}\\{x = -1.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;-2} \right] \cup \left\{ {-1} \right\} \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\;-2} \right] \cup \left\{ {-1} \right\} \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)