\({\log _4}\left( {x + 8} \right) \ge {\log _{3-x}}\left( {3-x} \right).\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 8 > 0,}\\{3-x \ne 1,\,}\\{3-x > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -8,}\\{x \ne 2,\;\,}\\{x < 3.\;\;}\end{array}} \right.\)
Найдём общее решение полученной системы:
Следовательно, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {-8;2} \right) \cup \left( {2;3} \right).\)
Вернёмся к исходному неравенству:
\({\log _4}\left( {x + 8} \right) \ge {\log _{3-x}}\left( {3-x} \right)\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _4}\left( {x + 8} \right) \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\;\;\;\;{\log _4}\left( {x + 8} \right) \ge {\log _4}4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x + 8 \ge 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge -4.\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-4;\;2} \right) \cup \left( {2;\;3} \right).\)
Ответ: \(\left[ {-4;\;2} \right) \cup \left( {2;\;3} \right).\)