\(\left( {{3^{4x-{x^2}-3}}-1} \right) \cdot {\log _{0,5}}\left( {{x^2}-4x + 5} \right) \ge 0.\)
Запишем ОДЗ: \({x^2}-4x + 5 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in R.\)
Решим исходное неравенство методом интервалов:
\(\left( {{3^{4x-{x^2}-3}}-1} \right) \cdot {\log _{0,5}}\left( {{x^2}-4x + 5} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{4x-{x^2}-3}}-1 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_{0,5}}\left( {{x^2}-4x + 5} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{4x-{x^2}-3}} = {3^0},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_{0,5}}\left( {{x^2}-4x + 5} \right) = {{\log }_{0,5}}1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x-{x^2}-3 = 0,}\\{{x^2}-4x + 5 = 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-4x + 3 = 0,}\\{{x^2}-4x + 4 = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-1} \right)\left( {x-3} \right) = 0,}\\{{{\left( {x-2} \right)}^2} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\,}\\{x = 2,}\\{x = 3.}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;1} \right] \cup \left\{ 2 \right\} \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;\;1} \right] \cup \left\{ 2 \right\} \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)