\(\dfrac{{{{\log }_2}\left( {8x} \right) \cdot {{\log }_3}\left( {27x} \right)}}{{{x^2}-\left| x \right|}} \le 0.\)
Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x > 0,\;}\\{27x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)
Так как \(x > 0,\) то \(\left| x \right| = x.\) Тогда исходное неравенство примет вид: \(\dfrac{{{{\log }_2}\left( {8x} \right) \cdot {{\log }_3}\left( {27x} \right)}}{{{x^2}-x}} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x > 0.\)
Найдём нули числителя:
\({\log _2}\left( {8x} \right) \cdot {\log _3}\left( {27x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\left( {8x} \right) = 0,\;}\\{{{\log }_3}\left( {27x} \right) = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x = 1,\;}\\{27x = 1}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{8},\;\;}\\{x = \dfrac{1}{{27}}.}\end{array}} \right.\)
Найдём нули знаменателя: \({x^2}-x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,}\\{x = 1.\,}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;\dfrac{1}{{27}}} \right] \cup \left[ {\dfrac{1}{8};\;1} \right).\)
Ответ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{{27}}} \right] \cup \left[ {\dfrac{1}{8};\;1} \right).\)